一元二次不等式的知识点

1.一元二次不等式的定义及标准表达式：
一元二次不等式，是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是：
$$
\begin{cases}
ax²+bx+c>0 \\
ax²+bx+c≠0,（a不等于0）\\
ax²+bx+c<0
\end{cases}
$$
解法：

1）公式法
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中$\Delta = b^2 - 4ac$,称为不等式判别式，$\Delta > 0$,不等式有2个解，$\Delta = 0$,不等式有1个解，$\Delta < 0$,不等式无解。
例题：
$2x^2 - 7x + 6 < 0$
$$
x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \times 2 \times 6}}{2 \times 2}
$$
$$
\begin{cases}
x_1 = \frac{3}{2}\\
x_2 = 2\\
\end{cases}
$$

2)图像法：
a.将不等式整理为一般形式，其中二次项系数为正；
b.将不等号换为等号，解一元二次函数判别式，了解根情况；$\Delta < 0$,则不等式无解；
c.求解一元二次方程；
d.画图，标根；
e.写解集；
例题：
$2x^2 - 7x + 6 < 0$
a.$2x^2 - 7x + 6 < 0$
b.$\Delta = 1 > 0$,该方程有两个根；
c.$2x^2 - 7x + 6 = 0$,$(2x - 3)(x - 2) = 0$,$x_1 = \frac{3}{2},x_2 = 2$
d.画图，a > 0,$\Delta > 0$,开口向上，有两个根($\frac{3}{2}$,2)，即

e.不等式小于零，即Y轴下方，写解集$\frac{3}{2} < x < 2$；

3）因式分解法：
a.将不等号换为等号，解一元二次方程判别式，了解根情况；$\Delta < 0$,则不等式无解；
b.将不等式左侧用十字相乘法分解为$(a_1 \cdot x + c_1)(a_2 \cdot x + c_2)$,其中$a_1 \cdot a_2 = a$,$c_1 \cdot c_2 = c$,$a_1 \cdot c_2 + a_2 \cdot c_1 = b$;
c.分两种情况讨论，使用口诀“大大取大，小小取小；大小小大取中间，小小大大没有解”。
d.写解集；
例题：
$2x^2 - 7x + 6 < 0$

解：
a.$\Delta = 1 > 0$,该方程有两个根；
b.使用十字相乘法，换形为$(2x - 3)(x - 2) < 0$,
c.分两种情况如下：

• $(2x - 3) < 0$ 且$(x - 2) > 0$;
• $(2x - 3) > 0$ 且$(x - 2) < 0$;

对于第一种，有
$x < 1.5$且$x > 2$,“小小大大没有解——小于小根，大于大根，无解”
对于第二种，有
$x > 1.5$且$x < 2$,“大小小大取中间——大于小根，小于大根，取中间”
d.写解集$\frac{3}{2} < x < 2$；

用到的知识：

不等式两边乘 -1，不等号要换方向；
一元二次函数的图形

韦达定理:
$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
$$

配方法
1）把原方程化为一般形式，也就是$ax^2 + bx + c = 0,(a\neq 0)$的形式。
2）把方程的两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边。
3）把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项。
4）进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。